定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k（k为常数）．（I）判断k为何值时，f（x）为奇函数，并证明；（II）设k=-1，f（x）是R上的增函数，且f（4）=5，若不等式f（mx2

Question

定义在R上的函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k（k为常数）．
（I）判断k为何值时，f（x）为奇函数，并证明；
（II）设k=-1，f（x）是R上的增函数，且f（4）=5，若不等式f（mx²-2mx+3）＞3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）若f（x）在R上为奇函数，则f（0）=0，
∵函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）+k，
∴令a=b=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）+k，
∴k=0，
下证明函数是奇函数
∵f（a+b）=f（a）+f（b），
∴令a=x，b=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，
∴0=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
∴f（x）为奇函数；
（Ⅱ）∵k=-1，
∴f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，即2f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∵不等式f（mx²-2mx+3）＞3对任意x∈R恒成立，
∴f（mx²-2mx+3）＞f（2）对任意x∈R恒成立，
又∵f（x）是R上的增函数，
∴mx²-2mx+3＞2对任意x∈R恒成立，
∴mx²-2mx+1＞0对任意x∈R恒成立，
①当m=0时，1＞0对x∈R恒成立，
∴m=0符合题意；
②当m≠0时，则有

m＞0

△＝4m2−4m＜0

，即

m＞0

0＜m＜1

，
∴0＜m＜1，
∴实数m的取值范围为0＜m＜1．
综合①②可得，实数m的取值范围是[0，1）．