若函数可导,则导函数连续命题：若f（x）在I上可导,则其导函数连续.证明：在x0临近取一点x,在区间〔x0,x〕或〔x,x0〕上,f(x)满足拉格朗日中值定理的条件,由此得(f(x)-f(x0))/(X-X0)=f’(a),a在x

Question

若函数可导,则导函数连续
命题：若f（x）在I上可导,则其导函数连续.
证明：在x0临近取一点x,在区间〔x0,x〕或〔x,x0〕上,f(x)满足拉格朗日中值定理的条件,由此得 ( f(x)-f(x0) )/( X-X0 )=f’(a),a在x与x0之间
由于当 x→x0-时,a→x0-,所以上式两边令x→x0-取极限,
lim（ f(x)-f(x0) ）/(x-x0) (x→x0-) = lim f‘（a）(a→x0-)=lim f’(x)
(x→x0-)
即左导数= limf’(x) （x→x0-）
同理,右导数=limf’(x) （x→x0+）
因为f(x)在x0可导,所以左导数=右导数=f’(x0)
所以limf’(x) ( x→x0-)= limf’(x) （x→x0+）= f’(x0)
所以f’(x)连续
命题是错的,但证明错在哪?

Answer 1

回复2楼
证明了 limf’(x) ( x→x0-)= limf’(x) （x→x0+）= f’(x0),就是导函数在x0的极限值=函数值,所以连续,与“f(X0+△x)-f(X0) 在△x趋于0 时 等于0”是等价的