对函数f(x),若f(x)=x,称x为f(x)不动点;若f(f(x))=x,称为的稳定点.A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}若f(x)=ax^2-1(a,x为实数),且A=B,A、B都不为空集,求a的取值范围A=B得a^2x^2+ax-a+1无根A非空得ax^2-x-1有根

Question

对函数f(x),若f(x)=x,称x为f(x)不动点;若f(f(x))=x,称为的稳定点.A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}
若f(x)=ax^2-1(a,x为实数),且A=B,A、B都不为空集,求a的取值范围
A=B得a^2x^2+ax-a+1无根
A非空得ax^2-x-1有根

Answer 1

函数f(x)=ax²-1
∴f(f(x))=a(ax²-1)²-1=a³x^4-2a²x²+a-1
由f(f(x))=x可得
a³x^4-2a²x²-x+a-1=0
即(ax²-x-1)(a²x²+ax-a+1)=0
∵A=B
∴(ax²-x-1)(a²x²+ax-a+1)=0所有根都来自于ax²-x-1=0
∴a²x²+ax-a+1=0无实数根.
又∵A非空
∴ax²-x-1=0有根.