设F（x)=(f(x)-f(a))/(x-a),(x>a)其中f(x)在[a,+∞）上连续,f''(x)在（a,+∞)内存在且大于0,求证F（x)在（a,+∞)内单调递增.

Question

设F（x)=(f(x)-f(a))/(x-a),(x>a)其中f(x)在[a,+∞）上连续,f''(x)在（a,+∞)内存在且大于0,求证F（x)
在（a,+∞)内单调递增.

Answer 1

题目错了吧,那就那样的已知条件得不出这个结论的.可以举一个反例.
f(x)=√x, 显然满足：
f(x)在[a,+∞)上连续,f''(x)在(a,+∞)内存在且大于0
但是
F(x)=(√x-√a)/(x-a)=1/(√x+√a) 是减函数.
好吧,题目没看清,那里是二阶导,还以为是一阶呢,二阶导就对了.
F'(x)=[(x-a)f'(x)-(f(x)-f(a))]/(x-a)^2
根据拉格朗日中值地理
f(x)-f(a)=f'(ξ)(x-a) ξ∈(a,x)
又f''(x)>0
所以
f'(x)>f'(ξ)
从而得到
F'(x)=[(x-a)f'(x)-(f(x)-f(a))]/(x-a)^2=F'(x)=(f'(x)-f'(ξ))/(x-a)>0
所以F(x) (a,+∞)递增