分段函数f(x),当x小于等于1的时候为(2/3)x^3,当x大于1时,为x^2问题是问在x=1处的左右导数的问题...这个应该是怎么求,为什么好像答案说的是右导数是无穷?真的很想知道,

Question

分段函数f(x),当x小于等于1的时候为(2/3)x^3,当x大于1时,为x^2
问题是问在x=1处的左右导数的问题...这个应该是怎么求,为什么好像答案说的是右导数是无穷?真的很想知道,

Answer 1

您好,这道题目,您的书里提供的标准答案的意思,是说f(1)=2/3, 而当x从大于1的一侧趋于1时,(f(x)-f(1))/(x-1)趋于无穷大.于是,标准答案认为这就是右导数,右导数就是无穷大.
但是,标准答案犯了一个错误.我们知道,一个函数只有在一点左连续时,它才可能左可导,我们才去定义它在这一点的左导数；在一点右连续时,它才可能右可导,我们才定义它在这一点的右导数.您可以翻一翻教科书,上面写导数的定义的时候,应该是像这样说的：设函数f(x)在一点x=a处连续……如果……那么我们说f(x)在x=a处可导,把……称为f(x)在x=a处的导数.教科书定义左导数和右导数,应该也是类似的说法.您说的这个函数,在x=1处并不右连续,虽然上面那个式子趋于无穷大,我们也不把这个无穷大称为f(x)在x=1处的右导数.