已知a为常数，函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（）A．f（x2）＜1−2ln24B．f（x2）＞1−2lnx4C．f（x2）＞2ln2+38D．f（x2）＜3ln2+48

Question

已知a为常数，函数f（x）=x²+aln（1+x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），则（　　）

A．f（x₂）＜(1−2ln2)/(4)
B．f（x₂）＞(1−2lnx)/(4)
C．f（x₂）＞(2ln2+3)/(8)
D．f（x₂）＜(3ln2+4)/(8)

Answer 1

∵f（x）=x²+aln（1+x），
∴f′（x）=(2x2+2x+a)/(1+x)（x＞-1）
令g（x）=2x²+2x+a，则g（0）=a＞0，∴-(1)/(2)＜x₂＜0，a=-（2x²₂+2x₂），
∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）．
设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-(1)/(2)，
则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），
（1）当x∈（-(1)/(2)，0）时，h′（x）＞0，∴h（x）在[-(1)/(2)，0）单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．
∴x∈（-(1)/(2)，0），h（x）＞h（-(1)/(2)）=(1−2ln2)/(4)；
故f（x₂）=h（x₂）＞(1−2ln2)/(4)．
故选：B．