如图，二次函数y=-x2+nx+n2-9（n为常数）的图象经过坐标原点和x轴上另一点A，顶点在第一象限．（1）求n的值和点A坐标；（2）已知一次函数y=-2x+b（b>0）分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二

Question

如图，二次函数y=-x₂+nx+n²-9（n为常数）的图象经过坐标原点和x轴上另一点A，顶点在第一象限．

（1）求n的值和点A坐标；
（2）已知一次函数y=-2x+b（b>0）分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二次函数图象的y轴右侧部分上的一个动点，若PN⊥NM于N点，且△PMN与△OMN相似，求点P坐标．

Answer 1

（1）∵二次函数y=-x²+nx+n²-9（n为常数）的图象经过坐标原点，
∴0=-0²+n×0+n²-9．
即n²-9=0．
解得，n₁=-3，n₂=3．
∵二次函数y=-x²+nx+n²-9的顶点在第一象限，-1<0，
∴n>0，
∴n=3．
∴二次函数y=-x²+3x．
令0=-x²+3x，得x₁=0，x₂=3．
∴二次函数y=-x²+3x与x轴的交点为（0，0）或（3，0）．
∵二次函数y=-x₂+nx+n²-9（n为常数）的图象经过坐标原点和x轴上另一点A，
∴点A的坐标为（3，0）．
由上可得，n=3，点A的坐标为（3，0）．
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，设点P的坐标为（x，-x²+3x）．
∵PN⊥NM，∠NOM=90°，
∴要使△PMN与△MNO相似，
则分两种情况：
第一种情况：△PMN∽△MNO，如下图，

∵一次函数y=-2x+b（b>0）分别交x轴、y轴于M、N两点，
∴OM=(1)/(2)b，ON=b，
∴(OM)/(ON)=(1)/(2)．
又∵△PMN∽△NMO，
∴(PN)/(MN)=(MO)/(NO)=(1)/(2)．
∵PN⊥MN，PB⊥y轴，
∴△PNB∽△MNO．
∴(x)/(b)=(-x2+3x-b)/((1)/(2)b)=(1)/(2)．
解得，x1=(1)/(2)，x2=0（舍去）．
∴点P的坐标为：（(1)/(2)，(5)/(4)）．
第二种情况：△PMN∽△NMO，如下图，

∵一次函数y=-2x+b（b>0）分别交x轴、y轴于M、N两点，
∴OM=(1)/(2)b，ON=b，
∴(OM)/(ON)=(1)/(2)．
又∵△PMN∽△NMO，
∴(PN)/(MN)=(NO)/(MO)=(2)/(1)．
∵PN⊥MN，PB⊥y轴，
∴△PNB∽△NMO．
∴(x)/(b)=(-x2+3x-b)/((1)/(2)b)=2．
解得，x₁=2，x₂=0（舍去）．
∴点P的坐标为（2，2）．
由上可得，点P的坐标为：（(1)/(2)，(5)/(4)）或（2，2）．