已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1、x2=3时，y1=y2．（1）①求m；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值．（2）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点

Question

已知点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在二次函数y=x²+mx+n的图象上，当x₁=1、x₂=3时，y₁=y₂．
（1）①求m；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值．
（2）若P（a，b₁），Q（3，b₂）是函数图象上的两点，且b₁>b₂，求实数a的取值范围．
（3）若对于任意实数x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，求n的范围．

Answer 1

（1）①∵当x₁=1、x₂=3时，y₁=y₂，
∴点A与点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
即-(m)/(2)=2，
∴m=-4；
②∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=m²-4n=0，
而m=-4，
∴n=4；
（2）∵x₁=1、x₂=3时，y₁=y₂，
而抛物线开口向上，
∴当a>3时，b₁>b₂，或a<1时，b₁>b₂，
即实数a的取值范围为a<1或a>3；
（3）∵对于任意实数x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，
∴二次函数y=x²-4x+n的最小值大于或等于1，
即(4×1×n-(-4)2)/(4×1)≥1，
∴n≥5．