（本小题满分12分）已知函数y=f(x)在定义域（—1+∞）内满足f(o)=0，且f／(x)=，(f／(x))是f(x)的导数）（Ⅰ）求f(x)的表达式.（Ⅱ）当a=1时，讨论f(x)的单调性（Ⅲ）设h(x)=（e

Question

（本小题满分12分）已知函数y= f (x)在定义域（—1+∞）内满足 f (o)=0，且f ^／ (x)= ，( f ^／ (x))是 f (x)的导数）
（Ⅰ）求 f (x)的表达式.
（Ⅱ）当a=1时，讨论 f (x)的单调性
（Ⅲ）设 h (x)=（e ^x —P） ² ＋（x－P） ² ，证明： h (x)≥

Answer 1

（Ⅰ） f (x)＝ln(1+x)—ax.
（Ⅱ） f (x)在（－1，0）上单调增，在（0，＋∞）上单调减；
（Ⅲ）h(x)＝（e ^x －P） ² ＋（P－x） ² ≥ 。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）利用函数y= f (x)在定义域（—1+∞）内满足 f (o)=0，且f ^／ (x)= ,可以得到函数的解析式。
（2）根据a=1，分析 f (x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1)
，求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间，进而得结论。
（3）根据由（Ⅱ）知 f (x)≤ f (0)＝0在（－1，＋∞）内恒成立
∴ln (1＋x) ≤x
∴e ^x ≥1＋x  e ^x －x≥1   ∴（e ^x －x） ² ≥1，从而证明不等式。
（Ⅰ）由 f ^／ (x)＝ .可得 f (x)=ln(1+x)—ax+b，b为实常数.又 f (0)＝0 b＝0.
f (x)＝ln(1+x)—ax.
（Ⅱ）当a=1时， f (x)= ln(1+x)—x.  (x＞－1)
f ^／ (x)＝ 　　　∵x＞－1
由 f ^／ (x)＝0 x＝0 ∴当x∈（－1，0]时 f ^／ (x)≥0，此时 f (x)递增
当x∈（0，＋∞）时， f ^／ (x)＜０，此时 f (x)递减
即 f (x)在（－1，0）上单调增，在（0，＋∞）上单调减…………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 f (x)≤ f (0)＝0在（－1，＋∞）内恒成立
∴ln (1＋x) ≤x
∴e ^x ≥1＋x  e ^x －x≥1   ∴（e ^x －x） ² ≥1
∴≤ ≤（e ^x －P） ² ＋（P－x） ²
即h(x)＝（e ^x －P） ² ＋（P－x） ² ≥ …………………………12分