9年级下学期“实际问题与二次函数”如图,点E、F、G、H分别位于边长为2CM的正方形ABCD的四条边上,且四边形EFGH也是正方形.问：当点E位于何处时,正方形EFGH的面积S(CM平方）最小?最小面积是多

Question

9年级下学期“实际问题与二次函数”
如图,点E、F、G、H分别位于边长为2CM的正方形ABCD的四条边上,且四边形EFGH也是正方形.问：当点E位于何处时,正方形EFGH的面积S(CM平方）最小?最小面积是多少CM平方?请吧过程写出来,）小女子不甚感激

Answer 1

（假设 E 在 AD 边上,F 在 AB 边上,其余类推）
第一步：证明三角形AFE、BFG、CGH、DHE彼此全等.
证明：因为EFGH为正方形,故 EF = FG = GH = HE ；
角AEF与角DEH互余,角AEF又与角AFE互余,因此 角AFE = 角DEH ；
在三角形AFE和三角形DEH中,
EF = HE;
角AFE = 角DEH;
角A = 角D =90度；
所以三角形AFE和三角形DEH全等.
同理三角形AFE、BFG、CGH、DHE彼此全等.
第二步：设 EA 长度为 x （厘米）,则 FB = EA = x;
AF = AB - FB = 2 - x;
由勾股定理,
EF^2 = AE^2 + AF^2 = x^2 + (2-x)^2 = 2x^2 - 4x + 4;.(1)
注意 EF^2 就是正方形EFGH的面积S.
(1)式首项系数大于0,
则取最小值时必然在 x = - b/2a = - (-4)/2*2 = 1 处.
由此E位于AB 中点时,正方形EFGH的面积S(CM平方）最小,以 x = 1带入
（1）式,得到最小面积是 2 * 1^2 - 4 * 1 + 4 = 2 ( CM平方 ）
证毕.