已知函数fx的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(x)>0,f(2)=9(1)已知函数fx的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(x)>0,f(2)=9(1)求f(0)和f(1)(2)验证函数f(x)=3^x是否满足上述条件?

Question

已知函数fx的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(x)>0,f(2)=9(1)
已知函数fx的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)f(y)且f(x)>0,f(2)=9
(1)求f(0)和f(1)
(2)验证函数f(x)=3^x是否满足上述条件?

Answer 1

∵ f(x+y)=f(x)*f(y)
（1）
令x=2,y=0
则 f(2)=f(2)*f(0)
∴ f(0)=1
令x=y=1
∴ f(2)=f(1)*f(1)
∴ [f(1)]²=9
∵ f(x)>0
∴ f(x)=3
（2） f(x)=3^x满足上述条件
理由如下：
f(x+y)=3^(x+y)=3^x*3^y=f(x)*f(y)
f(x)>0
f(2)=3^2=9