已知椭圆x^2/45+y^2/20=1上一点P与两个焦点的连线互相垂直,求P

Question

已知椭圆x^2/45+y^2/20=1上一点P与两个焦点的连线互相垂直,求P

Answer 1

显然有：c＝√（45－20）＝5,∴两焦点的坐标是F1（－5,0）、F2（5,0）.
令点P的坐标是（3√5cosu,2√5sinu）.则：
向量F1P＝（3√5cosu＋5,2√5sinu）、向量F2P＝（3√5cosu－5,2√5sinu）.
∵F1P⊥F2P,∴向量F1P·向量F2P＝0,∴（3√5cosu）^2－25＋（2√5sinu）^2＝0,
∴45（cosu）^2＋20（sinu）^2＝25,∴25（cosu）^2＝5,∴5（cosu）^2＝1,
∴√5cosu＝1,或√5cosu＝－1,∴3√5cosu＝3,或3√5cosu＝－3.
∵5（cosu）^2＝1,∴5－5（sinu）^2＝1,∴5（sinu）^2＝4,
∴√5sinu＝2,或√5sinu＝－2,∴2√5sinu＝4,或2√5sin＝－4.
综上可知,满足条件的点P有4个,分别是（3,4）、（3,－4）、（－3,4）、（－3,－4）.