已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），(ⅰ)若，求直线l的倾斜角；

Question

已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），
(ⅰ)若 ，求直线l的倾斜角；
(ⅱ)若点Q(0，y ₀ )在线段AB的垂直平分线上，且 ，求y ₀ 的值。

Answer 1

已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-a，0），
(ⅰ)若 ，求直线l的倾斜角；
(ⅱ)若点Q(0，y ₀ )在线段AB的垂直平分线上，且 ，求y ₀ 的值。

(Ⅰ)由 ，得3a ² =4c ² ，再由c ² =a ² -b ² ，解得a=2b，
由题意可知 ，即ab=2，
解方程组 ，得a=2，b=1，
所以椭圆的方程为 。
(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)可知点A的坐标是（-2，0），
设点B的坐标为(x ₁ ，y ₁ )，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2)，
于是A，B两点的坐标满足方程组 ，
消去y并整理，得(1+4k ² )x ² +16k ² x+(16k ² -4)=0，
由 ，得 ，从而 ，
所以 ，
由 ，得 ，
整理得32k ⁴ -9k ² -23=0，
即(k ² -1)(32k ² +23)=0，
解得k=±1，
所以直线l的倾斜角为 或 。
(ⅱ)设线段AB的中点为M，由(ⅰ)得M的坐标为 ，
以下分两种情况：
(1)当k=0时，点B的坐标是(2，0)，线段AB的垂直平分线为y轴，
于是 ，
由 4，得 ；
(2)当k≠0时；线段AB的垂直平分线方程为 ，
令x=0，解得 ，
由 ，
整理得，
，
故 ，故 ，
所以 ；
综上， 或 。