椭圆的一道题在线等已知椭圆（x^2/a^2）+y^2=1,直线l与椭圆交于A、B两点,M是线段AB的中点,连结OM并延长交椭圆于点C.⑴设直线AB与直线OM的斜率分别为K1、K2,且K1*K2=-1/4,求椭圆的离心率.⑵若直线

Answer 1

第1小题已算出,a=2 c=√ 3
所以,椭圆方程为：x^2/4+y^2=1
F坐标为：(√3,0)
设AB斜率为k,则直线方程为：y=k(x-√3)
代入x^2/4+y^2=1得：
x^2/4+k^2(x-√3)^2=1
(1+4k^2)x^2-8√3k^2x+12k^2-4=0
(x1+x2)/2=4√3k^2/(1+4k^2),
(y1+y2)/2=k(4√3k^2/(1+4k^2)-√3）= - √3k/(1+4k^2)
即：M点坐标为（4√3k^2/(1+4k^2),- √3k/(1+4k^2)
）
OACB是平行四边形,所以,M是OC中点
所以,C点坐标为（8√3k^2/(1+4k^2),- 2√3k/(1+4k^2)
C在椭圆上,
所以,48k^4/(1+4k^2)^2+12k^2/(1+4k^2)^2=1
32k^4+4k^2-1=0
(8k^2-1)(4k^2+1)=0
k^2=1/8
k=√2/4,或,k=-√2/4