已知函数fx=-x^2+ax-lnx(a∈R)(1)当a=3时,求函数fx在1/2,2是上当的最大值和最小值；(2)当函数在已知函数fx=-x^2+ax-lnx(a∈R)(1)当a=3时,求函数fx在1/2,2是上当的最大值和最小值；(2)当函数在1

Question

已知函数fx=-x^2+ax-lnx(a∈R) (1)当a=3时,求函数fx在【1/2,2】是上当的最大值和最小值； (2)当函数在
已知函数fx=-x^2+ax-lnx(a∈R)
(1)当a=3时,求函数fx在【1/2,2】是上当的最大值和最小值；
(2)当函数在【1/2,2】上单调时,求a的取值范围.

Answer 1

f'(x) = -2x + a - 1/x = a- (2x + 1/x)
(1) 当a=3时,f'(x) = 3 - (2x + 1/x),f'(x)>0 的解为 (1/2,1)
所以 f(x)在[1/2,1]上单调增,在[1,2]上单调减,
求得 f(x)的最大值为f(1) = 2,最小值为 f(2)=2- ln2 .
(2) 即 f'(x) 在[1/2,2]上恒≥0,或恒≤0,
① 当 a- (2x + 1/x) ≥ 0,即 a ≥ (2x +1/x) 恒成立
由于 2x + 1/x 在 [1/2,2]上的最大值为 9/2 ,所以 a≥ 9/2 ；
② 当 a- (2x + 1/x) ≤ 0,即 a ≤ (2x +1/x) 恒成立
由于 2x + 1/x 在 [1/2,2]上的最小值为 2√2 ,所以 a≤ 2√2；
综上,a≥ 9/2 或 a≤2√2 .