已知函数f(x)=axsinx-3/2(a属于R),且在[0,派/2]上的最大值为（派-3）/2(1)求函数f(x)的解析式(2)判...已知函数f(x)=axsinx-3/2(a属于R),且在[0,派/2]上的最大值为（派-3）/2(1)求函数f(x)的解析式(2)判断函

Question

已知函数f(x)=axsinx-3/2(a属于R),且在[0,派/2]上的最大值为（派-3）/2 (1)求函数f(x)的解析式(2)判...
已知函数f(x)=axsinx-3/2(a属于R),且在[0,派/2]上的最大值为（派-3）/2
(1)求函数f(x)的解析式(2)判断函数f(x)在(0,派)内的零点个数,并加以证明

Answer 1

1
f(x)=axsinx-3/2,x∈[0,π/2]
f'(x)=a(sinx+xcosx)>0,f(x)递增
f(x)max=f(π/2)=aπ/2-3/2=(π-3)/2
∴a=1 ∴f(x)=xsinx-3/2
2
f(x)=xsinx-3/2
f'(x)=sinx+xcosx
令f'(x)=0得tanx=-x,令解为x0∈(π/2,π)
∴(0,x0),f(x)递增,（x0,π),f(x)递减
f(x)max=f(x0)>f(π/2)>0
f(0)=-3/2<0,f(π)=-3/2<0
∴f(x)在(0,派)内有2个零点.