若正实数a，b满足（2a+b）2=1+6ab，则ab2a+b+1的最大值为．

Question

若正实数a，b满足（2a+b）²=1+6ab，则 (ab)/(2a+b+1)的最大值为___．

Answer 1

∵正实数a，b满足（2a+b）²=1+6ab，
∴ab=((2a+b)2-1)/(6)．
∵（2a+b）²=1+6ab≤1+3×((2a+b)/(2))2，
解得2a+b≤2．当且仅当b=2a=1取等号．
则(ab)/(2a+b+1)=((2a+b)2-1)/(6(2a+b)+6)=(2a+b-1)/(6)≤(2-1)/(6)=(1)/(6)，
∴(ab)/(2a+b+1)的最大值为(1)/(6)．
故答案为：(1)/(6)．