1若a,b,x,y属于正数,证明：x分之a平方+y分之b平方大于等于(x+y)分之（a+b)的平方,并指出等号成立的条件.利用上述性质,求下列问题：（1）已知a,b属于实数,且a+b+1=0,求(a-2)的平方+（b-3）的平方

Question

1 若a,b,x,y属于正数,证明：x分之a平方+y分之b平方 大于等于 (x+y)分之（a+b)的平方,并指出等号成立的条件.
利用上述性质,求下列问题：
（1）已知a,b属于实数,且a+b+1=0,求(a-2)的平方+（b-3）的平方的最小值
（2）若a的平方分之x平方+b平方分之y平方=1,则a平方+b平方大于等于（x+y）的平方

Answer 1

1.本题即为柯西不等式：
（x+y）*（a^2/x+b^2/y)>=(a+b)^2
等号当且仅当ay=bx时成立
不然的话：乘开：可得：y/xa^2+x/yb^2-2ab=0
即：y/xa^2+x/yb^2-2√y/√xa*√x/√yb=（√y/√xa-√x/√yb）^2=0
故√y/√xa=√x/√yb
即ax=by
（1）【1+1】*[（a-2)^2+（b-3)^2]>=(a-2+b-3)^2=36
（a-2)^2+（b-3)^2>=18
(2)1*(a^2+b^2)=(x^2/a^2+y^2/b^2)*(a^2+b^2)>=(x+y)^2
建议你看下柯西不等式