椭圆与抛物线相交椭圆：x/a+y/b=1(b>a>0)抛物线：x=2py(p>0)的交点分别为AB,在A的切线斜率为k1.k2.当b/a为定值时,求k1乘以K2也为定值（与P无关）我算的好麻烦,好繁琐,最后算不出了,（b＞a＞0）(p＞0)

Question

椭圆与抛物线相交
椭圆：x/a+y/b=1(b>a>0)抛物线：x=2py(p>0)的交点分别为AB,在A的切线斜率为k1.k2.当b/a为定值时,求k1乘以K2也为定值（与P无关）
我算的好麻烦,好繁琐,最后算不出了,
（b＞a＞0）(p＞0)
x^2/a^2+y^2/b^2=1
x^2=2py

Answer 1

须用导数做,不然确实很繁琐.最后算得 k1×k2=-2b^2/a^2
证：(以下用y'表示y的导数)
设交点为（x0,y0）
对x^2=2py求导得抛物线上（x0,y0）的点的切线斜率为 k1=y'=x0/p
对x^2/a^2+y^2/b^2=1求导得 2x/a^2 +2yy’/b^2 = 0
把y'解出来即得椭圆上（x0,y0）的点的切线斜率为 k2=y'= -x0*b^2/y0*a^2
故
k1*k2= -x0^2*b^2/p*y0*a^2 =(把x0^2=2py0代入)= -2b^2/a^2
故当b/a为定值时,k1*K2也为定值