已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0)离心率为√5/3求；若动点P(xo,yo)为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线互相垂直,求点P的轨迹方程?

Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点为(√5,0)离心率为√5/3
求；若动点P(xo,yo)为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线互相垂直,求点P的轨迹方程?

Answer 1

题中已知的是椭圆的已知的是椭圆的焦点
和离心率(a/c)=.也就是说,半焦距c =,半长轴a = 3,根据椭圆的性质,a²=b²+c²,可以知道b = 2,所以椭圆的标准方程是x²/9 +y²/4 =1.第一小问成功解决了.对于第二小问,已知的是椭圆外的动点到椭圆C的两条切线互相垂直,要求的是点P的轨迹方程.对于这类问题,一般的方法是联立椭圆和切线的方程,由于只有一个交点,消去x或y后,得到的一元二次方程根的判别式△必定等于0.两切线互相垂直,设它们的斜率分别为k1、k2,则k1•k2 = -1.
设过点的其中一条切线斜率为k,则切线的点斜式方程为y - y0 = k(x - x0) .联立切线方程与椭圆方程,消去y,得到关于x的一元二次方程
（4 + 9k²)x² +18k(y0 -kx0)x + 9[(kx -y0)²- 4] = 0
由于只有一个交点,所以此方程只有一个解,即
△ = [18k(y0 -kx0)]²-36(4 + 9k²)[(kx -y0)²- 4] = 0
一步步整理,得到
9k²(y0 -kx0)² - (4 + 9k²)[(kx -y0)²- 4] = 0
(4 + 9k²) - (y0 -kx0)² = 0 （*）
现在我们整理出了关于点P坐标(x0,y0)和斜率k的方程,我们只要要想办法消去参数k,就可以得到只含x0、y0的点P的轨迹方程.考虑到k1•k2 = -1,我们可以试着进一步整理（*）式,得到关于k的一元二次方程
（9 - x0²)k² + 2x0•y0•k + (4 -y0²) = 0
此时,应用韦达定理,我们可以消去k
k1•k2 = -1 = (4 -y0²)/（9 - x0²)
整理得到x0² + y0² = 13
所以点P的轨迹方程为x² + y² = 13
因为要参加说题比赛在用这道题做练习,刚刚做完!