已知直线l:x=m(m＜-2)与x轴交于A点动圆M与直线l相切并且与圆O:x2+y2=4相外切.(1)求动圆的圆心M的轨迹方程;(2)若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点问是否存在以MN为

Question

已知直线l:x=m(m＜-2)与x轴交于A点 动圆M与直线l相切 并且与圆O:x ² +y ² =4相外切.

(1)求动圆的圆心M的轨迹方程;

(2)若过原点且倾斜角为 的直线与曲线C交于M、N两点 问是否存在以MN为直径的圆经过点A?若存在 求出m的值;若不存在 请说明理由.

Answer 1

解:(1)设动圆圆心M(x y) 则 =2+x-m

得y ² =(4-2m)x+(2-m) ² (m＜-2)

即为曲线C的方程.

(2)直线MN的方程为y= x 代入曲线C的方程可得

3x ² -2(2-m)x-(2-m) ² =0

显然Δ＞0.

假设存在这样的M、N.

设M(x ₁ y ₁ )、N(x ₂ y ₂ )

则

从而y ₁ y ₂ = x ₁ · x ₂ =3x ₁ x ₂ .

若以MN为直径的圆过点A 则AM⊥AN.

∴k _AM ·k _AN =-1

4x ₁ x ₂ -m(x ₁ +x ₂ )+m ² =0.

∴- (2-m) ² -m· (2-m)+m ² =0

即m ² +12m-16=0.

解得m ₁ =-6-2 m ₂ =-6+2 (舍).

因此 存在m=-6-2 适合题设.