已知半径为5的动圆C的圆心在直线l；x-y+10=0上（1）若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程（2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O；x²+y²=r²相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来

Question

已知半径为5的动圆C的圆心在直线l；x-y+10=0上
（1）若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程 （2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O；x²+y²=r²相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）依题意,可设动圆C的方程为（x-a)^2+（y-b）^2=25,其中圆心（a,b）满足a-b+10=0．
又∵动圆过点（-5,0）,故（-5-a）^2+（0-b）^2=25．
解方程组 {a-b+10=0
(-5-a)^2+(0-b)^2=25
可得 {a=-10
b=0或 {a=-5
b=5
故所求的圆C方程为（x+10）^2+y^2=25或（x+5）^2+（y-5）^2=25．
（2）圆O的圆心（0,0）到直线l的距离d= |10|/根号（1+1）=5 根号2．
当r满足r+5＜d时,动圆C中不存在与圆O：x^2+y^2=r^2相切的圆；
当r满足r+5=d,即r=5 根号2-5时,动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x^2+y^2=r^2相外切；
当r满足r+5＞d,与圆O：x^2+y^2=r^2相外切的圆有两个．
综上：r=5 根号2-5时,动圆C中满足与圆O：x^2+y^2=r^2相外切的圆有一个．