对于任意正数a,b有f(ab)=f(a)+f(b),且f(1)的导数=1 证明f(x) 在零到正无穷可导,求f(x) 设f(x)函数满足f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),其中x1,x2为任意实数,而且已知f(0)的导数=2 求f(x) f(x)的导数f(a*b) 这题答案第一个好

Question

对于任意正数a,b有f(ab)=f(a)+f(b),且f(1)的导数=1 证明f(x) 在零到正无穷可导,求f(x)
设f(x)函数满足f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),其中x1,x2为任意实数,而且已知f(0)的导数=2
求f(x)
f(x)的导数
f(a*b)
这题答案第一个好象是ln (x)
第二个好象是e的2t次方
但是我不会求
第一个 ZBOE做的好象是对的
w5535846495 的做法好象有待商榷
第二个 我还么弄明白

Answer 1

试一下吧
第一题：
f(a)=f(a)+f(1)
f(1)=0
f(b/b)=f(b)+f(1/b)=0
f(b)=-f(1/b)
f(a/b)=f(a)-f(b)
lim((f(a)-f(b))/(a-b))=lim(f(a/b)/(a-b))=lim(f(1+(a-b)/b)/(a-b))=lim((f(1+(a-b)/b)-f(1))/((a-b)/b))/b a-b趋于0 即(a-b)/b趋于0
f'(b)=f'(1)/b=1/b
f(b)=lnb+C
代入f(1)=0得C=0
所以f(x)=lnx
第二题
f(x)=f(x)*f(0)
f(x)=0(不满足f(0)的导数=2)或f(0)=1
lim((f(x+dx)-f(x))/(dx))=lim((f(x)*f(dx)-f(x))/(dx))=lim(f(x)*(f(dx)-1)/(dx))=f(x)*lim((f(0+dx)-f(0))/(dx))=f(x)*f'(0)=2*f(x) dx趋于0
即f'(x)=2*f(x)
ln(y)=2*x+C
代入f(0)=1得C=0
所以y=exp(2*x)
（这么多小括号,可能多少半个我自己也搞不清楚了）