函数f(x)满足条件1.a≤f(x)≤b,对于任意的x∈[a,b];2.存在常数k,使得对于任意的x,y∈[a,b]有|f(x)-f(y)|≤k|x-y|,证明：(1).f(x)在[a,b]上连续；(2).存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=ξ;(3).若k∈[0,1),定义数列{xn}：x1∈[a

Question

函数f(x)满足条件1.a≤f(x)≤b,对于任意的x∈[a,b];2.存在常数k,使得对于任意的x,y∈[a,b]有
|f(x)-f(y)|≤k|x-y|,证明：
(1).f(x)在[a,b]上连续；
(2).存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=ξ;
(3).若k∈[0,1),定义数列{xn}：x1∈[a,b],x(n+1)=f(xn),n=1,2,3,……则lim(n→无穷大)xn=ξ.

Answer 1

我为大一新生,做高数不容易啊,给分吧
(1)|f(x)-f(y)|≤k|x-y|
令y=X0,x趋向于X0（X0∈[a,b]）
则k|x-y|趋向于0
因为|f(x)-f(y)|≥0
且lim|f(x)-f(y)|≤limk|x-y|=0,x趋向于X0,y=X0
由夹逼准则可知
当自变量变化很小时对应函数该变量也是无穷小,故连续
2）a≤f(x)≤b
f(a)-a≥0 f(b)-b≤0
故构造函数F（x)=f(x)-x由介值定理可知在[a,b]上必有一零点
f(ξ)-ξ=0
f(ξ)=ξ
3)|f(xn)-f(ξ)|≤k|xn-ξ|
|f(xn)-ξ|≤k|xn-ξ|
|x(n+1)-ξ|≤k|xn-ξ|【相当于xn与ξ的距离在缩小】
因为k∈[0,1),【k=0我就不讨论了】
当n→无穷大,xn与ξ的差趋向于无穷小
所以lim(n→无穷大)xn=ξ