函数奇偶性判断可以用代入法吗?设函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时f(x)＜0,f(1)=-2.证明f(x)是奇函数.我的方法是：令y=-x则f(0)=f(x)+f(-x),所以-f(-x)=f(x),则f(x)为奇函数.函数的奇偶

Question

函数奇偶性判断可以用代入法吗?
设函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时f(x)＜0,f(1)=-2.证明f(x)是奇函数.
我的方法是：令y=-x则f(0)=f(x)+f(-x),所以-f(-x)=f(x),则f(x)为奇函数.
函数的奇偶性可以这样证明吗?请附理由,
忘了证明f(0)=0,这个我会证明,

Answer 1

我的方法是：令y=-x则f(0)=f(x)+f(-x),所以-f(-x)=f(x),则f(x)为奇函数.
——这个肯定不对!
由f(x)+f(-x)=f(0)是不能得到-f(-x)=f(x)的!
因为f(0)=0你还没有确定!
所以,应该是先令x=y=0得到：f(0+0)=f(0)+f(0)
===> f(0)=2f(0)
===> f(0)=0
再接着你上面的部分就可以了.