已知中心在原点"焦点在X轴上的椭圆C的离心率e＝二分之一"直线l1：x+2y-4＝0是椭圆C的切线 求椭圆C的标准方程设直线l1与直线l：x＝-4设交于点A椭圆C的左焦点为F 求证AF⊥BF

Question

已知中心在原点'焦点在X轴上的椭圆C的离心率e＝二分之一'直线l1：x+2y-4＝0是椭圆C的切线 求椭圆C的标准方程
设直线l1与直线l：x＝-4设交于点A椭圆C的左焦点为F 求证AF⊥BF

Answer 1

e = c/a = 1/2 ,∴a^2 = 4c^2 ,b^2 = 3c^2 ,椭圆方程化为：3c^2x^2 + 4c^2y^2 = 12c^4
化简得：3x^2 + 4y^2 = 12c^2 ,联立切线方程得：4x^2 - 8x + 16 - 12c^2 = 0
再由△ = 0 ,解得c = 1 ,a = 2
∴椭圆方程：(x^2/4) + (y^2/3) = 1,左焦点F(-1 ,0)
画图觉得B应该就是切点吧?由前述方程求得B(1 ,3/2) ,同时易得A(-4 ,4)
∴k(AF) = -4/3 ,k(BF) = 3/4 ,∵k(AF)·k(BF) = -1 ,∴AF⊥BF