如图,已知圆G:(x-2)^2+y^2=r^2是椭圆x^2/16+y^2=1的内接△ABC的内切圆,A为椭圆的左顶点,(1)求圆G的半径r?(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于EF两点,证明：直线EF与圆G相切.第一问已经算出来了r=2/3

Question

如图,已知圆G:(x-2)^2+y^2=r^2是椭圆x^2/16+y^2=1的内接△ABC的内切圆,A为椭圆的左顶点,
(1)求圆G的半径r?
(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于EF两点,证明：直线EF与圆G相切.第一问已经算出来了 r=2/3 第二问方法知道但是算了半天没算出来

Answer 1

（1）设B（2+r,y0）,过圆心G作GD⊥AB于D,BC交长轴于H
由GDAD=
HBAH得r36-r2=
y06+r,
即y0=
r
6+r6-r（1）
而点B（2+r,y0）在椭圆上,y02=1-
(2+r)216=
12-4r-r216=-
(r-2)(r+6)16（2）
由（1）、（2）式得15r2+8r-12=0,
解得r=
23或r=-
65（舍去）
（2）设过点M（0,1）与圆(x-2)2+y2=
49相切的直线方程为：y-1=kx（3）
则23=
|2k+1|1+k2,即32k2+36k+5=0（4）
解得k1=
-9+
4116,k2=
-9-
4116
将（3）代入x216+y2=1得（16k2+1）x2+32kx=0,
则异于零的解为x=-
32k16k2+1
设F（x1,k1x1+1）,E（x2,k2x2+1）,
则x1=-
32k116k12+1,x2=-
32k216k22+1
则直线FE的斜率为：kEF=
k2x2-k1x1x2-x1=
k1+k21-16k1k2=
34
于是直线FE的方程为：y+
32k1216k12+1-1=
34(x+
32k116k12+1)
即y=
34x-
73
则圆心（2,0）到直线FE的距离d=
|
32-
73|1+
916=
23
故结论成立．