（2011•宜宾一模）已知数列{an}中a2=2且前n项和Sn=n(an+3a1)2（n∈N*），（Ⅰ）求数列{an}中首项的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若Tn=16an+1an+3，数列{tn}的前n项和为Tn，求Tn．

Question

（2011•宜宾一模）已知数列{a_n}中a₂=2且前n项和S_n=(n(an+3a1))/(2)（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}中首项的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若T_n=(16)/(an+1an+3)，数列{t_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵Sn＝(n(an+3a1))/(2)，n∈N*，a₂=2，
∴S1＝(a1+3a1)/(2)，∴a₁=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，Sn＝(nan)/(2)，
∴2S_n=na_n，
2S_n-1=（n-1）a_n-1，
两式相减，2（S_n-S_n-1）=na_n-（n-1）a_n-1，
∴2a_n=na_n-（n-1）a_n-1，（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
∴(an)/(n−1)＝(an−1)/(n−2)，n≥3，n∈N^*，
∴(an)/(n−1)＝(an−1)/(n−2)＝(an−2)/(n−3)＝…＝(a3)/(2)＝(a2)/(1)，
∴a_n=2（n-1），n≥2．
经检验，n=1也成立，∴a_n=2（n-1），n∈N^*．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，tn＝(16)/(an+1an+3)＝(2)/(n)−(2)/(n+2)，
∴Tn＝((2)/(1)−(2)/(3))  +((2)/(2)−(2)/(4))  +…+((2)/(n)−(2)/(n+2))=3-(2)/(n+1)-(2)/(n+2)．