已知数列的首项为a1=2，前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，当n≥2时，an总是3Sn-4与2−52Sn−1的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（n+1）an，Tn是数列{bn}的前n项和，n∈N*，求Tn；

Question

已知数列的首项为a₁=2，前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，当n≥2时，a_n总是3S_n-4与2−(5)/(2)Sn−1的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n+1）a_n，T_n是数列{b_n}的前n项和，n∈N^*，求T_n；
（Ⅲ）设cn＝(3an)/(4•2n−3n−1•an)，P_n是数列{c_n}的前项和，n∈N^*，试证明：Pn＜(3)/(2)．

Answer 1

（Ⅰ）当n≥2时2an＝(3Sn−4)+(2−(5)/(2)Sn−1)，

即2(Sn−Sn−1)＝(3Sn−4)+(2−(5)/(2)Sn−1)，

∴Sn＝(1)/(2)Sn−1+2…(1分)

∴(an+1)/(an)＝(Sn+1−Sn)/(Sn−Sn−1)＝(((1)/(2)Sn+2)−((1)/(2)Sn−1+2))/(Sn−Sn−1)＝(1)/(2)(n≥2．)

2+a2＝(1)/(2)×2+2.

＝3⇒a2＝1⇒(a2)/(a1)＝(1)/(2)，

∴(an+1)/(an)＝(1)/(2)(n≥1)．
∴数列{a_n}是首项是2，公比是(1)/(2)的等比数列，
∴an＝2×((1)/(2))n−1=(1)/(2n−2)．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知an＝(1)/(2n−2)．
则T_n=b₁+b₂+…b_n=2×(1)/(2−1)+3×

作业帮用户 2017-10-31

问题解析

（Ⅰ）当n≥2时2an＝(3Sn−4)+(2−

(5)/(2)Sn−1)，由此能导出数列{a_n}是首项是2，公比是(1)/(2)的等比数列，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an＝(1)/(2n−2)，知T_n=b₁+b₂+…b_n=2×(1)/(2−1)+3×(1)/(20)+4×(1)/(21)+…+(n+1)(1)/(2n−2)，利用错位相减法能求出T_n．
（Ⅲ）由cn＝(3an)/(4•2n−3n−1•an)＝(3)/(4n−3n−1)=(9)/(3•4n−3n)＝(9)/(2•4n+4n−3n)＜(9)/(2•4n)，能够证明Pn＜(3)/(2)．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．

考点点评：

本题考查数列通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，注意错位相减法的合理运用．

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