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已知数列的首项为a1=2,前n项和为Sn,且对任意的n∈N*,当n≥2时,an总是3Sn-4与2−52Sn−1的等差中项.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=(n+1)an,Tn是数列{bn}的前n项和,n∈N*,求Tn;

题目详情
已知数列的首项为a1=2,前n项和为Sn,且对任意的n∈N*,当n≥2时,an总是3Sn-4与2−
5
2
Sn−1的等差中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=(n+1)an,Tn是数列{bn}的前n项和,n∈N*,求Tn
(Ⅲ)设cn=
3an
4•2n−3n−1•an
,Pn是数列{cn}的前项和,n∈N*,试证明:Pn<
3
2
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)当n≥2时2an=(3Sn−4)+(2−
5
2
Sn−1),
即2(Sn−Sn−1)=(3Sn−4)+(2−
5
2
Sn−1),
∴Sn=
1
2
Sn−1+2…(1分)
an+1
an
Sn+1−Sn
Sn−Sn−1
(
1
2
Sn+2)−(
1
2
Sn−1+2)
Sn−Sn−1
1
2
(n≥2.)

2+a2=
1
2
×2+2.
=3⇒a2=1⇒
a2
a1
1
2

an+1
an
1
2
(n≥1).
∴数列{an}是首项是2,公比是
1
2
的等比数列,
an=2×(
1
2
)n−1=
1
2n−2
.…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),知an=
1
2n−2

则Tn=b1+b2+…bn=
1
2−1
+3×
作业帮用户 2017-10-31
问题解析
(Ⅰ)当n≥2时2an=(3Sn−4)+(2−
5
2
Sn−1),由此能导出数列{an}是首项是2,公比是
1
2
的等比数列,从而能求出数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)由an=
1
2n−2
,知Tn=b1+b2+…bn=
1
2−1
+3×
1
20
+4×
1
21
+…+(n+1)
1
2n−2
,利用错位相减法能求出Tn
(Ⅲ)由cn=
3an
4•2n−3n−1•an
3
4n−3n−1
=
9
3•4n−3n
9
2•4n+4n−3n
9
2•4n
,能够证明Pn<
3
2
名师点评
本题考点:
数列与不等式的综合;等比数列的通项公式;数列的求和.
考点点评:
本题考查数列通项公式的求法,考查数列的前n项和的求法,考查不等式的证明.解题时要认真审题,熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,注意错位相减法的合理运用.
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