过抛物线y2=2px（p>0）的顶点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于A、B两点．（1）求证：直线AB恒过定点；（2）过原点O作0H垂直于AB，H为垂足，求点H的轨迹方程．

Question

过抛物线y²=2px（p>0）的顶点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于A、B两点．
（1）求证：直线AB恒过定点；
（2）过原点O作0H垂直于AB，H为垂足，求点H的轨迹方程．

Answer 1

（1）证明：设A（2pt₁²，2pt₁），B（2pt₂²，2pt₂）．
由OA⊥OB，得(2pt1)/(2pt12)•(2pt2)/(2pt22)=-1，得出t₁t₂=-1．
∴k_AB=(1)/(t1+t2)．
得直线AB的方程：y-2pt₁=(1)/(t1+t2)（x-2pt₁²）．
即x-（t₁+t₂）y-2p=0．
令y=0，解得x=2p．
∴直线AB恒过定点（2p，0）．
（2） ∵直线AB恒过定点M（2p，0），过原点O作0H垂直于AB，H为垂足，
∴点H的轨迹是以OM为直径的圆（不含原点O），
∴点H的轨迹方程为（x-p）²+y²=p²（x≠0）．