求点的轨迹过圆C:x^2+y^2-4x+2y-4=0内的点P(1,-2)作弦AB,求弦AB中点的轨迹

Question

求点的轨迹
过圆C:x^2+y^2-4x+2y-4=0内的点P(1,-2)作弦AB,求弦AB中点的轨迹

Answer 1

设该中点为D（X,Y）,题中定点为C（1,-2）则由D是AB中点,可以设A（X+t,Y+u）,B（X-t,Y-u）.
整理圆的方程,得到：（x-2)^2+(y+1)^2=9,A,B两点的坐标分别代入圆的方程,得到：
(X+t-2)^2+(Y+u+1)^2=9,(X-t-2)^2+(Y-u+1)^2=9.两式相减,整理,得到：1.u/t=(X-2)/(Y+1)
由于直线AB过点D,C所以DC和AB的斜率是相等的,也得到：
2.{Y+u-(Y-u)]/[X+t-(X-t)]=(Y+2)/(X-1)
由1,2两式得到：（X-2)/(Y+1))=(Y+2)/(X-1),也就是：
3.（X+Y)(X-3)=0
如果AB的斜率不存在,则第2式是不成立的.此时AB的方程是x=1,代入圆的方程,求出两交点的坐标是A（-1,1+√8）,B（-1,1-√8）D的坐标是：（-1,1）也适合方程3.
所以,D的轨迹方程是（X+Y)(X-3)=0