求线代帝,关于矩阵的相似和对角化的一道题设A为三阶矩阵,α1、α2、α3是线性无关的三维向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3,求可逆矩阵P,使得P（-1,上标）AP为对角矩阵

Question

求线代帝,关于矩阵的相似和对角化的一道题
设A为三阶矩阵,α1、α2、α3是线性无关的三维向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3,求可逆矩阵P,使得P（-1,上标）AP为对角矩阵

Answer 1

由条件可以知道,
α1、α2、α3是线性无关的三维向量,
故矩阵(α1,α2,α3)可逆,
而Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3,
即
A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)(1 0 0
1 2 2
1 1 3)
于是
(α1,α2,α3)^(-1) A (α1,α2,α3)=(1 0 0
1 2 2
1 1 3)
显然由相似矩阵的定义我们可以知道
A与矩阵B=(1 0 0 相似
1 2 2
1 1 3)
现在求出B的特征值和特征向量,设B的特征值为λ,则行列式
1-λ 0 0 =0
1 2-λ 2
1 1 3-λ
即(1-λ)[(2-λ)(3-λ) -2]=0,(1-λ)(λ^2 -5λ +4)=0
解得λ=1,1,4 （其中1为重根）
当λ=1时,
解齐次方程(B- 1E)x=0,即
(0 0 0 x =0
1 1 2
1 1 2)
得到基础解系
η1=( -1,1,0)^T,η2=(-2,0,1)^T
当λ=4时,
解齐次方程(B- 4E)x=0,即
(-3 0 0 x =0
1 -2 2
1 1 -1)
得到基础解系
η3=(0,1,1)^T
所以
可逆矩阵P
=(α1,α2,α3) (η1,η2,η3)
=(α1,α2,α3) (-1 -2 0
1 0 1
0 1 1)
即
P=( -α1+α2,-2α1+α3,α2+α3)