asinB+bcosB=√(a^2+b^2)sin(B+C)(其中tanB=b/a)怎么推出来的,或asinB+bcosB=√(a^2+b^2)cos(B-C)(其中tanB=a/b)这两个式子怎么推出来的?好难啊@@

Question

asinB+bcosB=√(a^2+b^2)sin(B+C) (其中tanB=b/a)怎么推出来的,
或asinB+bcosB=√(a^2+b^2)cos(B-C) (其中tanB=a/b)
这两个式子怎么推出来的?好难啊@@

Answer 1

asinB+bcosB=√(a^2+b^2){a/√(a^2+b^2)sinB + b/√(a^2+b^2)cosB}
(相当于乘以一个√(a^2+b^2)再除以一个√(a^2+b^2))
由于
a/√(a^2+b^2) 的平方与 b/√(a^2+b^2) 的平方相加为1 ,并且这两个数可以取到（0,1）内的任何值
不妨就设cosC=b/√(a^2+b^2)
sinC=a/√(a^2+b^2)
则原式=√(a^2+b^2)（cosBcosC+sinCsinB）==√(a^2+b^2)cos(B-C)
且tanC =b/a
这是三角函数题,三角函数涉及到许多换元,这道题就是一个技巧,在两个方面很常用
一个就是化简求值：
比如
4/5sinA + 3/5cosA =cos (A-B) 其中tanB=4/3
另一个就是求值域或最大最小值
比如
3sinA+4cosA 《5
三角函数里面有许多公式,这个算是比较重要的,学习三角函数就是不能怕麻烦,凡是多动笔,多试验,到最后就会具备一眼看出答案的能力.