立方差公式的推广证明过程(1)a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+ab^(n-1)+b^(n-1)](2)a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)*b+...+(-1)^(r-1)*a^(n-r)*b^(r-1)+...+b^(n-1)](n为奇数)

Question

立方差公式的推广证明过程
(1)a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+ab^(n-1)+b^(n-1)]
(2) a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)*b+...+(-1)^(r-1)*a^(n-r)*b^(r-1)+...+b^(n-1)](n为奇数)

Answer 1

立方差公式也是数学中,常用公式之一,具体为：
两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差.
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
证明如下：
（a-b）^3=a^3-3(a^2)b+3a*b^2-b^3
所以a^3-b^3=（a-b）^3-[-3(a^2)b+3a*b^2]=（a-b）(a-b)^2+3ab(a-b)=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=
(a-b)(a^2+ab+b^2)
类似地,我们有立方和公式及其推广:
(1) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
(2) a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)*b+...+(-1)^(r-1)*a^(n-r)*b^(r-1)+...+b^(n-1)](n为奇数)