基本不等式超费解130已知a>b>0,求a2+1/（a*b)+1/[a*(a-b)]的最小值.a2是a的平方的意思,﹡是乘号.我用公式a+b+c>=3倍立方根号a*b*c求得原式大于等于3*立方根号下1/[b*(a-b)],再根据取等号的条件求得a=根

Question

基本不等式超费解130
已知a>b>0,求a2+1/（a*b)+1/[a*(a-b)]的最小值.a2是a的平方的意思,﹡是乘号.我用公式a+b+c>=3倍立方根号a*b*c求得原式大于等于3*立方根号下1/[b*(a-b)],再根据取等号的条件求得a=根号根号2,进而求得答案3*根号二,这样做错在哪里?正确答案是4
大家如果有兴趣我今晚七点会发一个名为“不等式疑难179”的简单的问题,但更能揭示大道理,希望大家关注

Answer 1

等号成立条件要求太高
例如第一步是需要a^2=1/(ab)=1/a(a-b)
第二步需要b=a-b
三个条件,两个未知数,一般达不到
你用了两个不等式
第一步就需要两个相等的条件
(a+b+c)/3>=3次根号(abc)
等号满足条件是a=b=c
这个你没考虑
所以
光最后满足是没用的
对的方法是想办法得到两个相等条件,而非3个
凑：
先加ab,再减ab
原因是
有ab+1/ab, 1/(a^2-ab)这样就有了+a^2-ab
a2+1/（a*b)+1/[a*(a-b)]=ab+1/ab + 1/(a^2-ab)+ (a^2-ab)
ab+(1/ab)>=2根号1=2,等号成立时ab=1/ab,ab=1,因为a>b>0
[1/(a^2-ab)]+(a^2-ab)>=2,等号成立时,1/(a^2-ab)=a^2-ab,a^2-ab=1
a^2=2,a=根号2,b=1/根号2
所以最小为4