已知a、b、c、d是非零实数，并满足a+b+c−dd＝a+b−c+dc＝a−b+c+db=−a+b+c+da，则代数式(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)abcd的值是（）A．81B．3C．81或1D．3或1

Question

已知a、b、c、d是非零实数，并满足(a+b+c−d)/(d)＝(a+b−c+d)/(c)＝(a−b+c+d)/(b)=(−a+b+c+d)/(a)，则代数式((a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d))/(abcd)的值是（　　）

A．81
B．3
C．81或1
D．3或1

Answer 1

∵(a+b+c−d)/(d)＝(a+b−c+d)/(c)＝(a−b+c+d)/(b)=(−a+b+c+d)/(a)，
∴(a+b+c)/(d)-(d)/(d)=(a+b+d)/(c)-(c)/(c)=(a+c+d)/(b)-(b)/(b)=(b+c+d)/(a)-(a)/(a)，
∴(a+b+c)/(d)-1=(a+b+d)/(c)-1=(a+c+d)/(b)-1=(b+c+d)/(a)-1，
∴(a+b+c)/(d)=(a+b+d)/(c)=(a+c+d)/(b)=(b+c+d)/(a)．
分两种情况：
①当a+b+c+d=0时，
((a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d))/(abcd)=((−d)(−a)(−c)(−b))/(abcd)=1；
②当a+b+c+d≠0时，
设(a+b+c)/(d)=(a+b+d)/(c)=(a+c+d)/(b)=(b+c+d)/(a)=k，
则k=((a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d))/(d+c+b+a)=(3a+3b+3c+3d)/(a+b+c+d)=3，
a+b+c=3d，a+b+d=3c，a+c+d=3b，b+c+d=3a，
∴((a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d))/(abcd)=(3d•3a•3c•3b)/(abcd)=81．
综上可知，代数式((a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d))/(abcd)的值是1或81．
故选C．