已知各项均为正数的数列{an}满足a2n+1＝2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn＝1+nan，记数列{cn}的前n项积为Tn，其中n∈N*试比较Tn与9的大小，并加以证

Question

已知各项均为正数的数列{a_n} 满足

a

2 n+1

＝2

a

2 n

+anan+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）令cn＝1+(n)/(an)，记数列{c_n} 的前n项积为T_n，其中n∈N^* 试比较T_n 与9的大小，并加以证明．

Answer 1

（1）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则f′(x)＝−(x)/(1+x)
当x＞0时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0）=0，∴ln（1+x）-x＜0
∴lnc_n=ln（1+(n)/(an)）=ln(1+(n)/(2n))＜(n)/(2n)
∴lnT_n＜(1)/(2)+(2)/(22)…+(n)/(2n)
记A_n=(1)/(2)+(2)/(22)…+(n)/(2n)①，则(1)/(2)A_n=(1)/(22)+(2)/(23)…+(n−1)/(2n)+(n)/(2n+1)②
∴①-②可得(1)/(2)A_n=(1)/(2)+(1)/(22)+(1)/(23)…+(1)/(2n)−(n)/(2n+1)=1-(n+2)/(2n+1)＜1
∴A_n＜2
∴lnT_n＜2
∴T_n＜e²＜9．