．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由．

Question

．（本题满分16分）
已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a 1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．
（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求 满足的条件；若不能，请说明理由．
（2）设 ， ，
若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式 恒成立．

Answer 1

．（本题满分16分）
已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a 1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．
（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求 满足的条件；若不能，请说明理由．
（2）设 ， ，
若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式 恒成立．

（1）n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r， ． （1分）
n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，①    2Sn－1＝an－1an＋r，②
① －②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．       （ 3分）
则a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．
a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差为2的等差数列， a2n＝a2＋2(n－1)．
要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即 ．r＝c－c2． （ 4分）
∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．
∵当c＝－2， ，不合题意，舍去.
∴当且仅当 时，数列 为等差数列      （5分）
（2） ＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝ －2．
＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－( )． （8分）
∴        （9分）
． （10分）
＝ ．（11分）
∵r＞c＞4，∴ ＞4，∴ ＞2．
∴0＜ ＜1． （13分）
且 ＞－1． （14分）
又∵r＞c＞4，∴ ，则0＜ ． ．
∴ ＜1． ．∴ ＜1．（15分）
∴对于一切n∈N*，不等式 恒成立．（16分）

略