设有两个数列{an}，{bn}，若liun→∞an＝0，则（）A．当∞n＝1bn收敛时，∞n＝1anbn收敛B．当∞n＝1bn发散时，∞n＝1anbn发散C．当∞n＝1|bn|收敛时，∞n＝1an2bn2收敛D．当∞n＝1|bn|发散时，∞n

Question

设有两个数列{a_n}，{b_n}，若

liu

n→∞

an＝0，则（　　）

A．当

∞

n＝1

b_n收敛时，

∞

n＝1

a_nb_n收敛
B．当

∞

n＝1

b_n发散时，

∞

n＝1

a_nb_n发散
C．当

∞

n＝1

|b_n|收敛时，

∞

n＝1

a_n²b_n²收敛
D．当

∞

n＝1

|b_n|发散时，

∞

n＝1

a_n²b_n²发散

Answer 1

解法一：
排除法 
A取an＝bn＝(−1)n(1)/(√(n))，满足条件，但

∞

n＝1

anbn＝

∞

n＝1

(1)/(n)发散
B取an＝bn＝(1)/(n)，满足条件，但

∞

n＝1

anbn＝

∞

n＝1

(1)/(n得)收敛
D取an＝bn＝(1)/(n)，满足条件，但

∞

n＝1

a

得 n

b

得 n

＝

∞

n＝1

(1)/(n4)收敛
所以 A，B，D选项都不对．
故选 C
解法二：
直接证明
因为

lim

n→∞

an＝0，则由定义可知∃N₁，使得n＞N₁时，有|a_n|＜1
又因为

∞

n＝1

|bn|收敛，可得

lim

n→∞

|bn|＝0，则由定义可知∃N_得，使得n＞N_得时，有|b_n|＜1
从而，当n＞N₁+N_得时，有

a

得 n

b

得 n

＜|bn|，则由正项级数e比较判别法可知

∞

n＝1

a

得 n

b

得 n

收敛
故选：C