由拉格朗日中值定理可知：对于任意x>0,存在a,满足0

Question

由拉格朗日中值定理可知：
对于任意x>0,存在a,满足0

Answer 1

一种做法是：既然考虑x趋于0+,因此解出a即可.
a＝arccos(sinx/x),于是lim a/x=lim arccos(sinx/x)/x,然后用洛必达法则或Taylor展式.此题建议先用洛必达法则再用Taylor展式.
第二种做法是一开始就用Taylor展式：
1－a^2/2+小o(a^2)=cosa=sinx/x=1－x^2/6+小o(x^2).
注意到当x趋于0+时,有a趋于0+,因此得
a^2/2=x^2/6+小o(x^2),两边同除以x^2,然后取极限得
lim a^2/(2x^2)=1/6,
于是有lim a/x=根号(1/3).