①已知点P（X,Y）,是圆X²+Y²=1任意一点,求U=（X+2)/(y+2)的取值范围.②若实数X,Y满足等式（X-2）²+Y²=3,那么Y/X的最大值是?③已知点P（X,Y）在圆{X=1+cosαY=sinα上,求Y/X+1的最大值④已

Question

①已知点P（X,Y）,是圆X²+Y²=1 任意一点,求U=（X+2)/(y+2)的取值范围.
②若实数X,Y满足等式（X-2）²+Y²=3,那么Y/X的最大值是?
③已知点P（X,Y）在圆{X=1+cosα Y=sinα 上 ,求Y/X+1的最大值
④已知a²+2a+b²-2b=0 ,求a+b的范围
⑤Y=kX+b与X轴交点的横坐标是X3.求证X1X2=X1X3+X2X3
⑥抛物线Y²=4X的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分.求证m+n=mn
⑦求抛物线X²=Y上的点P到直线2X-Y-4=0的距离最小时的点P的坐标
⑧求曲线Y²=-2X-4上与原点距离最近的点的坐标
⑨抛物线X²=2Y上距点A（0,a）（a>0）最近的点恰好是抛物线的顶点,求a的取值范围
10 设抛物线Y²=4X的一条弦,AB以点P（1,1）为中点,求直线AB的斜率

Answer 1

仅供参考
①已知点P（X,Y）,是圆X²+Y²=1 任意一点,求U=（X+2)/(y+2)的取值范围.
解析：Y=±√(1-x^2),x∈[-1,1]
U(x)=（X+2)/( √(1-x^2)+2),y∈[0,1]
U’(x)= [(√(1-x^2)+2)+(X+2) (x/√(1-x^2))]/(√(1-x^2)+2)^2>0
∴函数U(x)单调增,U(-1)=1/2,U(1)=3/2
U(x)=(X+2)/( 2-√(1-x^2)) ,y∈[-1,0]
U’(x)=[( 2-√(1-x^2))- (X+2)( x/√(1-x^2))]/( 2-√(1-x^2))^2
( 2-√(1-x^2))- (X+2)( x/√(1-x^2))=0
2√(1-x^2)=1+2x
解得x=(√7-1)/4
∴x=(√7-1)/4,函数取最大值U((√7-1)/4)≈2.2153
U=（X+2)/(y+2)的取值范围为[1/2,2.2153]
②若实数X,Y满足等式（X-2）²+Y²=3,那么Y/X的最大值是?
解析：∵圆(X-2)^2+Y^2=3
(y/x)^2=3/x^2-((x-2)/x)^2
令f(x)= 3/x^2-((x-2)/x)^2
F’(x)=(-4x^2+2x)/x^4=0
X=1/2
当x=1/2时,f(x)取极大值3
∴y/x的最大值为√3
③已知点P（X,Y）在圆{X=1+cosα Y=sinα 上 ,求Y/X+1的最大值
解析：圆(x-1)^2+y^2=1
(y/x)^2=1/x^2-((x-1)/x)^2
令f(x)= 1/x^2-((x-1)/x)^2
F’(x)=-2/x^2y^2=k^2x^2+k^2-2k^2x
代入抛物线得k^2x^2-2(k^2+2)x+k^2=0
X1+x2=2(k^2+2)/k^2, x1x2=1
∵过焦点弦长=x1+x2+p=x1+x2+2
焦点半径x1+1=m,x2+1=n
M+n= x1+x2+2
Mn=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+2
∴m+n=mn成立.
⑦求抛物线X^2=Y上的点P到直线2X-Y-4=0的距离最小时的点P的坐标
解析：抛物线X^2=Y上的点P(x,x^2)
到位直线2X-Y-4=0的距离：|2X-x^2-4|/√5
设d(x)=|2X-x^2-4|/√5=|-(x-1)^2-3|/√5
∴x=1时,d(x)取最小值3√5/5
∴P的坐标为P(1,1)
⑧求曲线Y^2=-2X-4上与原点距离最近的点的坐标
解析：曲线Y^2=-2(X+2),其顶点坐标为(-2,0)
∴与原点距离最近的点(-2,0)
⑨抛物线X^2=2Y上距点A（0,a）（a>0）最近的点恰好是抛物线的顶点,求a的取值范围
题意不清楚
10 设抛物线Y^2=4X的一条弦,AB以点P（1,1）为中点,求直线AB的斜率
解析：∵抛物线Y^2=4X
过点(1,1)直线为y=kx-k+1==>y^2=k^2x^2-(2k^2-2k)x+k^2-2k+1
代入抛物线得k^2x^2-(2k^2-2k+4)x+k^2-2k+1=0
X1+x2=(2k^2-2k+4)/k^2
∵AB以点P（1,1）为中点
∴X1+x2=(2k^2-2k+4)/k^2=2
2k^2-2k+4=2k^2==>k=2
直线AB的斜率为2