已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若当x∈[0，1）时，f（x）=ax+b（a>0且a≠1），且f(32)＝12．（1）求实数a，b的值；（2）求函数g（x）=f2（x）+f（x）的值域．

Question

已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若当x∈[0，1）时，f（x）=a^x+b（a>0且a≠1），且f((3)/(2))＝(1)/(2)．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数g（x）=f²（x）+f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．
∵f（x-1）=f（x+1），∴f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（0）=0，即b=-1．
又f((3)/(2))＝f(−(1)/(2))＝−f((1)/(2))＝1−√(a)＝(1)/(2)，
解得a＝(1)/(4)．
（2）当x∈[0，1）时，f（x）=a^x+b=（(1)/(4)）^x-1∈（-(3)/(4)，0]，
由f（x）为奇函数知，
当x∈（-1，0）时，f（x）∈（0，(3)/(4)），
∴当x∈R时，f（x）∈（-(3)/(4)，(3)/(4)），
设t=f（x）∈（-(3)/(4)，(3)/(4)），
∴g（x）=f²（x）+f（x）=t²+t=（t-(1)/(2)）²-(1)/(4)，
即y=（t-(1)/(2)）²-(1)/(4)∈[-(1)/(4)，(21)/(16)）．
故函数g（x）=f²（x）+f（x）的值域为[-(1)/(4)，(21)/(16)）．