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设A是2阶方阵,且A^2=E,A不等于±E,证明:r(A+E)=r(A-E)=1
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设A是2阶方阵,且A^2=E,A不等于±E,证明:r(A+E)=r(A-E)=1
▼优质解答
答案和解析
由 A^2=E 得 A^2-E^2=0 ,
则 (A+E)(A-E)=0 ,
由已知,A+E ≠ 0 ,
若 A+E 可逆,则 A-E=(A+E)^(-1)*0=0 ,与 A 不等于 E 矛盾,
因此 A+E 不可逆,即 r(A+E)=1 ,
同理 r(A-E)=1 .
则 (A+E)(A-E)=0 ,
由已知,A+E ≠ 0 ,
若 A+E 可逆,则 A-E=(A+E)^(-1)*0=0 ,与 A 不等于 E 矛盾,
因此 A+E 不可逆,即 r(A+E)=1 ,
同理 r(A-E)=1 .
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