（α1,α2...αr）是线性无关向量组,（β1..βr）=（α1..αr）A,证明r（A）=r（β1.βr）

Question

（α1,α2...αr）是线性无关向量组,（β1..βr）=（α1..αr）A,证明r（A）=r（β1.βr）

Answer 1

证明r（A）<=r（β1.βr）且r（A）>=r（β1.βr）
以c1,c2,…,cr（打不出希腊字母）表示A的行向量,设其中一组基为c1,c2,…,ck(k<=r),则显然,β1..βr均可由β1..βk线性表出,从而r（β1.βr）<=k=r（A）>
同时,若β1..βk为β1..βr一组极大线性无关向量,则β（k+1）…βr可由β1..βk线性表出,此时容易看出c1,c2,…,ck为c1,c2,…,cr的一组极大线性无关向量,否则β1..βk线性相关.从而r（A）<=r（β1.βr
综上,命题成立.