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已知e1,e2为互相垂直的单位向量.求证：无论整数x取何值,xe1+e2与e1+xe2的夹角都不等于60°
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已知e1,e2为互相垂直的单位向量.求证：无论整数x取何值,xe1+e2与e1+xe2的夹角都不等于60°
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答案和解析
e1*e2＝0
|xe1+e2|^2＝(xe1+e2)*(xe1+e2)＝x^2＋1,所以|xe1+e2|=√(x^2+1)
|e1+xe2|^2＝(e1+xe2)*(e1+xe2)＝x^2＋1,所以|e1+xe2|=√(x^2+1)
(xe1+e2)*(e1+xe2)＝2x
xe1+e2与e1+xe2的夹角θ的余弦cosθ＝(2x)/(x^2+1)
若θ＝60°,则x＝x^2+1,x^2－x＋1＝0无整数解,矛盾.
所以,无论整数取何值,xe1+e2与e1+xe2的夹角都不等于60°
|xe1+e2|^2＝(xe1+e2)*(xe1+e2)＝x^2＋1,所以|xe1+e2|=√(x^2+1)
|e1+xe2|^2＝(e1+xe2)*(e1+xe2)＝x^2＋1,所以|e1+xe2|=√(x^2+1)
(xe1+e2)*(e1+xe2)＝2x
xe1+e2与e1+xe2的夹角θ的余弦cosθ＝(2x)/(x^2+1)
若θ＝60°,则x＝x^2+1,x^2－x＋1＝0无整数解,矛盾.
所以,无论整数取何值,xe1+e2与e1+xe2的夹角都不等于60°
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