圆锥曲线椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1左右焦点F1(-c,0),F2(c,0)已知(1,e)和(e,√3/2)都在椭圆上,其中e为椭圆离心率.（1）求椭圆方程x^2/2+y^2=1(我自己算出来的,各位解答（2）时可以直接用)；(2)设A,B是椭圆上

Question

圆锥曲线
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1左右焦点F1(-c,0),F2(c,0)已知(1,e)和(e,√3/2)都在椭圆上,其中e为椭圆离心率.
（1）求椭圆方程 x^2/2+y^2=1(我自己算出来的,各位解答（2）时可以直接用)；
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BFA交于点P.
①若AF1-BF2=√6/2,求直线AF1的斜率；
②求证：PF1+PF2是定值

Answer 1

(一)设A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2),AF1所在直线斜率为k,因为其过F1点,
所以直线方程为y=k(x+1),
y=k(x+1)……(1)
(x^2)/2+y^2=1……(2)
解得y的一元二次方程(1/2k^2+1)*y^2-y/k-1/2=0,因为A为位于x轴上方的点,取
方程的正根,y1=[1+(√2+2k^2)]*k/(1+2k^2).
同理,因为BF2平行于AF1,所在直线斜率为k,因为其过F2点,所以直线方程为
y=k(x-1),
y=k(x-1)……(3)
(x^2)/2+y^2=1……(4)
解得y的一元二次方程(1/2k^2+1)*y^2+y/k-1/2=0,因为B为位于x轴上方的点,取
方程的正根,y2=[-1+(√2+2k^2)]*k/(1+2k^2).
y1=k(x1+1),y2=k(x2-1),两式相加得,y1+y2=k(x1+x2)……(5)
AF1-BF2=√6/2,由焦半径公式得AF1=ex1+a,BF2=a-ex2,AF1-BF2=e(x1+x2)=√
6/2,x1+x2=(√6/2)/e=√3,将所得y1、y2值和x1+x2=√3代入(5),解得k=√2/2或-
√2/2.
将k值代入y1、y2中,首先考虑k=√2/2时,y1=(√6+√2)/4,y12=(√6-√2)/4,x1=(
√3-1)/2,x2=(√3+1)/2；k=-√2/2时,y值为负舍去.
(二)将k值代入y1、y2中,k=√2/2,y1=(√6+√2)/4,y12=(√6-√2)/4,x1=(√3-
1)/2,x2=(√3+1)/2,
kAF2=y1/(x1-1)=(2√6+3√2)/(-6),kBF1=y2/(x2+1)=(3√2+2√6)/(-6),
AF2直线方程为y=kAF2(x-1),BF1直线方程为y=kBF1(x+1),两直线交点P坐标为(√
3/2,√6/12),P,F1,F2均为定值,PF1+PF2是定值.
答案不一定对,希望有所帮助.