已知函数y=(e^x-a)^2+(e^(-x)-a)^2(a属于R,a不等于0),求y的最小值Y=(e^x-a)^2+(e^(-x)-a)^2=(e^x)^2-2ae^x+a^2+(e^(-x))^2-2ae^(-x)+a^2=(e^x+e^(-x))^2-2a(e^x+e^(-x))+2a^2-2设t=e^x+e^(-x)Y=t^2-2at+2a^2-2t>=2=(t-a)^

Question

已知函数y=(e^x-a)^2+(e^(-x)-a)^2(a属于R,a不等于0),求y的最小值
Y= (e ^x-a) ^2+ (e^ (-x)-a) ^2
= (e ^x) ^2-2ae^x+a^2+ (e^ (-x)) ^2-2ae^ (-x) +a^2
= (e ^x+ e^ (-x)) ^2-2a (e ^x +e^ (-x)) +2a^2-2
设t=e ^x+ e^ (-x)
Y=t^2-2at+2a^2-2 t>=2
= (t-a) ^2+a^2-2
所以，函数(t-a) ^2+a^2-2的对称轴是t=a
a=2
y(min)=a^2-2

Answer 1

根据：(m-n)^2=m^2-2mn+n^2≥0 → m^2+n^2≥2mn (m,n属于R）当m=n时取“=”
所以：y≥2(e^x-a)×(e^(-x)-a)＝2[1+a^2-a(e^x+e^(-x)] 当e^x-a=e^(-x)-a时取“=”,即x=0时,y最小=2a^2