2个随机变量X,Y,E(X^2)和E(Y^2)都存在,证明：[E(XY)]^2

Question

2个随机变量X,Y,E(X^2)和E(Y^2)都存在,证明：[E(XY)]^2

Answer 1

这是柯西－许瓦兹不等式(Cauchy-Schwarz Inequality).
证：对于任意实变量t,考虑函数
q(t) = E[(X+tY)²]
= E(Y²)t² + 2E(XY)t + E(X²).
显然,对于一切实数t,q(t)≥0.这就意味着q(t)的判别式小于等于0,即
delta=4[E(XY)]² - 4[E(X)² E(Y)²] ≤ 0.
也就是
[E(XY)]² ≤ E(X²) E(Y²)