设z1=1-cosθ+isinθ，z2=a2+ai（a∈R），若z1z2≠0，z1z2-.z1z2=0，问在（0，2π）内是否存在θ使（z1-z2）2为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

Question

设z₁=1-cosθ+isinθ，z₂=a²+ai（a∈R），若z₁z₂≠0，z₁z₂-

.

z1z2

=0，问在（0，2π）内是否存在θ使（z₁-z₂）²为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

假设满足条件的θ存在．
因z₁z₂≠0，z₁z₂-

.

z1z2

=0，故z₁z₂为纯虚数．
又z₁z₂=（1-cosθ+isinθ）（a²+ai）
=[a²（1-cosθ）-asinθ]+[a（1-cosθ）+a²sinθ]i，
于是，

a2(1−cosθ)−asinθ＝0，①

a(1−cosθ)+a2sinθ≠0   ②

由②知a≠0．
因θ∈（0，2π），故cosθ≠1．于是，由①得a=(sinθ)/(1−cosθ)．
另一方面，因（z₁-z₂）²∈R，故z₁-z₂为实数或为纯虚数．
又z₁-z₂=1-cosθ-a²+（sinθ-a）i，
于是sinθ-a=0，或1-cosθ-a²=0．
若sinθ-a=0，则由方程组

sinθ−a＝0

a＝(sinθ)/(1−cosθ)

得(sinθ)/(1−cosθ)=sinθ，故cosθ=0，于是θ=(π)/(2)或θ=(3π)/(2)．
若1-cosθ-a²=0，则由方程组
√(作业帮用户2017-09-30举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析这是一道探索性问题．可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答．名师点评本题考点：复数的基本概念；同角三角函数基本关系的运用．考点点评：①解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z≠0，z+z=0⇔z∈{纯虚数}⇔Re(z)＝0＋ℑ(z)≠0以及z2∈R⇔z∈R或z∈{纯虚数}．（注：Re（z），Im（z）分别表示复数z的实部与虚部）②解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)