已知函数f（x）=sinx2+3cosx2（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）令g（x）=f（x+π3），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

Question

已知函数f（x）=sin(x)/(2)+√(3)cos(x)/(2)
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）=f（x+(π)/(3)），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

（1）由f（x）=sin(x)/(2)+√(3)cos(x)/(2)=2（(1)/(2)sin(x)/(2)+(√(3))/(2)cos(x)/(2)）=2sin((x)/(2)+(π)/(3))（3分）
∴f（x）的最小正周期T=(2π)/((1)/(2))=4π．（5分）
当sin((x)/(2)+ (π)/(3))=-1时，f（x）取得最小值-2；
当sin((x)/(2)+ (π)/(3))=1时，f（x）取得最大值2．（7分）
（2）由（1）知f（x）=2sin（(x)/(2)+(π)/(3)）．又g（x）=f（x+(π)/(3)），．
∴g（x）=2sin[(1)/(2)(x+(π)/(3))+(π)/(3)]=2sin(x+(π)/(2))=2cos(x)/(2)．（9分）
所以g（-x）=2cos(−(x)/(2))=cos(x)/(2)=g（x）．（11分）
∴函数g（x）是偶函数．（12分）